如何解释量子力学的不确定性原理
根据量子力学，一个物理系统所处状态用波函数ψ描述。波函数ψ并不直接对应物理量的取值，我们需要使用算符才能从波函数中把我们关心的物理量的取值“提取”出来。算符能够把一个函数映射为另一个函数。即：Aψ=φ我们可定义算符的本征值问题：Aψ=λψ这里λ是一个数，上式表示算符A把波函数“映射”为自己了，所以这个方程叫本征方程，本征的德语eigen就是“自己”的意思。λ叫本征值，ψ叫λ对应的本征函数。如果λ是实数，A就是一个厄米算符。由于物理量都是实数，在量子力学中我们用厄米算符表示物理量。现在本征方程可以重新写为：这里a是实数，我们对随便一个波函数ψ做测量A，力图获取物理量A的取值，假如测量是成功的，我们会得到某个a'，这个a'就是物理量A的取值。但如果ψ本身不是A的本征函数，我们需要把ψ对本征函数做个展开，即把ψ表示为好多本征函数的叠加：叠加因子是：上式中最右侧式子，我已经把结果写成狄拉克记号的形式，可以看出狄拉克记号是非常简洁直观的。如果ψ不是本征函数的话，我们不能确定每次都能观测到物理量相同的取值。我们只能讲期望，我们期望有多大几率观察到A取a'。根据玻恩的统计解释，这个几率P是：一次成功的测量意味着，波函数ψ坍缩为某个a'对应的本征函数：假如我们做连续的测量，因此现在已经是a'对应的本征函数，再做A测量，波函数不变。假如我们现在不做A测量，对某个另外的物理量B做测量，假如A，B两个算符对易——[A, B]=0，这意味着存在A、B的共同本征函数：ψab，使得：假如我们对共同本征函数ψab做连续的A测量，B测量，我们将得到a，b，并且波函数本身并不因测量而发生改变。上式中第一个箭头表示做了一个A测量，我们获得的是一系列a确定，但b不确定的本征函数的叠加，然后我们做B测量，我们获得的是a，b都确定下来的本征函数，然后我们再做A测量或B测量，我们读取的物理量A、B的取值将都是a和b。这就是我们平时所说的如果A、B对易，我们对物理量A、B做测量可以得到同时确定值的意思。假如A、B不对易，就不存在A、B的共同本征函数，只存在A的本征函数ψa，和B的本征函数φb，假设我们对任意波函数ψ作A测量，如果测量成功，波函数就坍缩为某个A的本征函数ψa，然后我们对ψa作B测量，测量成功，意味着ψa坍缩为某个B的本征函数φb。然后我们再作A测量，由于φb不是A的本征函数，φb要坍缩为某个ψa'，这里的a'和a很可能是不一样的，换句话说，我们做的这一系列测量，A的测量值是不确定的。同样的理由，如果我们再接着做B测量的话，b的取值也可能变为不同的b'。这意味着，假如A、B不对易，就无法同时确定物理量A、B的取值。比如在量子力学中，位置和动量算符不对易，这意味着我们无法同时确定粒子的位置，和粒子的动量。可以证明位置的不确定度Δx和动量的不确定度Δp满足不等式：这类不等式不仅仅存在于位置、动量关系，实际上只要算符A、B不对易，我们在数学上可严格证明如下关系：证明过程详见樱井的《现代量子力学》。这意味着当A、B不对易时，对任何波函数我们都无法同时确定A、B的取值。综上所述，不确定关系与我们的测量技术、测量精度无关，它是量子力学理论体系的自然推论。现在让我们回到那个著名的比喻，“有一个球，先测得它是白色，后测得它是硬的”，这里的颜色和硬度都是比喻，在大多数教科书中颜色被比喻为测量自旋的z分量Sz，而硬度比喻为测量自旋的x分量Sx，由于Sz和Sx是不对易的，不存在Sz和Sx的共同本征函数。这意味着当我们知道Sz的取值的时候，我们完全不知道关于Sx的取值，当我们知道Sx的取值的时候，我们完全不知道Sz的取值。换句话说：对球颜色的测量会完全破坏球硬度的信息，而对球硬度的测量又会完全破坏球颜色的信息。这在字面上当然是违背我们的日常经验的，但这些恰恰是量子世界的基本事实。对事实我们不需要怀疑，需要的是找到恰当的语言去描述它们，量子理论就是可以描述量子世界事实的恰当语言。
如何理解不确定性原理
不确定性原理在量子力学里，不确定性指的是，粒子的位置与动量不可同时被确定，位置的不确定性ΔX与动量的不确定性ΔP遵守不等式：ΔXΔP≥ℏ/2，其中ℏ是约化普朗克常数ℏ=h/(2π)。海森堡于1927年给出这原理的论述，因此又称为“海森堡不确定性原理”。根据海森堡的表述，测量这动作不可避免的搅扰了被测量粒子的运动状态，因此产生不确定性。后来肯纳德称，位置的不确定性与动量的不确定性是粒子的秉性，它们共同遵守某极限关系式，与测量动作无关。从单缝衍射理解不确定性原理粒子的波粒二象性的概念可以用来解释位置不确定性和动量不确定性的关系。自由粒子的波函数为平面波。假设，平面波入射于刻有一条狭缝的不透明挡板，平面波会从狭缝衍射出去，在观测屏上显示出干涉条纹。根据单狭缝衍射公式，从中央极大值位置到第一个零点的夹角θ为：sinθ=λ/ω，其中，λ是平面波的波长，ω是狭缝宽度。给定平面波的波长，狭缝越窄，衍射现象越宽阔，θ越大；狭缝越宽，衍射现象越窄，θ越小。当粒子穿过狭缝之前，在y方向（垂直于粒子前进方向）的动量Py为0，穿过狭缝时，粒子的Py遭遇搅扰。新的Py可以由粒子抵达观测屏的位置计算出来。Py的不确定ΔPy大约是：ΔPy≈Psinθ=Pλ/ω当粒子穿过狭缝时，粒子的位置不确定性Δy大约是狭缝宽度：Δy≈ω所以，位置不确定性与动量不确定性的乘积大约为：ΔyΔPy≈Pλ/ω*ω=λP根据德布罗意假说：λ=h/P所以，位置不确定性与动量不确定性遵守近似式：ΔyΔPy≈h波函数简略推导不确定性原理在量子力学中，波函数描述粒子的量子行为。在任意位置，波函数绝对值的平方是粒子处于该位置的概率，动量则与波函数的波数有关。粒子的位置可以用波函数ψ(x,t)描述，假设波函数ψ(x)是单色平面波，以方程表示为：ψ(x)=e^ikx=e^ixp/ℏ其中，k是波数，p是动量。在位置a与b之间找到粒子的概率P为：假设位置空间的波函数是所有可能的正弦波的积分叠加：其中，Φ(p)表示振幅，是动量空间的波函数：从数学上看，ψ(x)与Φ(p)是一对傅里叶变换。标准差σ可以定量地描述位置与动量的不确定性。位置的概率密度函数|ψ(x)|^2可以用来计算其标准差。因为傅里叶变换对的性质为频域函数与空域函数不能同时收缩或扩展，因此必然有误差宽度。数学上可以证明傅里叶变换的空域宽度Δx和频域宽度Δy的乘积有一个下限：ΔxΔy≥1/(4π)因此最后可以得到：ΔXΔP≥h/(4π)=ℏ/2这就是不确定性原理，属于粒子的一种内禀属性，蕴含了深刻的意义。
